Προθερµαίνετε το φούρνο στους 180 °C. Ετοιµάζετε τη γέµιση. Κόβετε το κρέας σε µικρά κοµµατάκια. Ζεσταίνετε το βούτυρο µαζί µε το ελαιόλαδο και σοτάρετε τα κρεµµυδάκια. Προσθέτετε το κρέας και συνεχίζετε το σοτάρισµα. Χαµηλώνετε τη φωτιά, προσθέτετε 1 φλιτζάνι ζεστό νερό, τον κύβο λαχανικών, αλάτι και πιπέρι, µισοσκεπάζετε την κατσαρόλα και βράζετε το κρέας για 55’ περίπου, µέχρι να µαλακώσει.
Όταν απορροφηθούν όλα τα υγρά, αποσύρετε τη γέµιση από τη φωτιά, την αφήνετε να κρυώσει λίγο και την αναµειγνύετε µε το κασέρι (ή τη γραβιέρα), το κατίκι (ή το γιαούρτι), το µαϊντανό και τα αυγά. Ανακατεύετε καλά.
Απλώνετε το ένα φύλλο σφολιάτας σε βουτυρωµένο στρογγυλό ταψί. Ρίχνετε µέσα τη γέµιση µε το κρέας µε τέτοιο τρόπο ώστε να σχηµατίζει ένα λοφάκι και απλώνετε τις πιπεριές ώστε να καλύψουν τη γέµιση. Τη σκεπάζετε µε το δεύτερο φύλλο. Στολίζετε την πίτα µε κορδόνι που θα φτιάξετε µε τα περισσεύµατα της σφολιάτας. Αλείφετε µε βούτυρο και αυγό και την ψήνετε στο φούρνο για 35’-40’ περίπου, µέχρι να ροδίσει.