Βάζετε σε κατσαρόλα το λάδι και το κρεμμύδι. Ανακατεύετε σε μέτρια φωτιά ώσπου να μαλακώσει. Σε ένα μπολ ανακατεύετε τα τρία τυριά μεταξύ τους.
Ζυμώνετε όλα τα υλικά της ζύμης στο μίξερ ώσπου να μαζευτεί η ζύμη γύρω από τον γάντζο ζυμώματος και συνεχίζετε το ζύμωμα 5' ακόμη σε πολύ χαμηλή ταχύτητα. Αφήνετε τη ζύμη να φουσκώσει 10' και ανοίγετε δύο φύλλα 30-35 εκ.
Λαδώνετε καλά το ταψί και στρώνετε μέσα το ένα φύλλο της ζύμης. Απλώνετε από πάνω (στο μισό φύλλο) το 1/2 από το μείγμα των τυριών και κατόπιν τις μισές φέτες ζαμπόν τα μισά μανιτάρια (προαιρετικά) και την μισή πιπεριά. Πασπαλίζετε με αλατοπίπερο και βασιλικό. Σκεπάζετε τη γέμιση με το υπόλοιπο φύλλο ζύμης και διπλώνετε τις άκρες για να κλείσουν καλά.
Επαναλαμβάνετε φτιάχνοντας με το δεύτερο φύλλο και τα υπόλοιπα υλικά μια ακόμη σκεπαστή. Λαδώνετε τις σκεπαστές πίτες καλά και τα ψήνετε στους 200° C 20'-25', ώσπου να ροδίσει καλά η επιφάνεια.