Στραγγίζετε καλά τις πατάτες, τις ανακατεύετε με το γιαούρτι και το βούτυρο και τις λιώνετε. Προσθέτετε τον κρόκο του ενός αυγού, το τυρί, τη ρίγανη, λίγο αλάτι και το πιπέρι, και ανακατεύετε το μείγμα καλά.
Παίρνετε μέρη από το μείγμα και τα κυλάτε πάνω σε λίγο αλεύρι φτιάχνοντας μπάλες. Τα αφήνετε λίγο στο ψυγείο να κρυώσουν.
Ρίχνετε σε ένα βαθύ πιάτο το δεύτερο αυγό μαζί με το ασπράδι του πρώτου και τα χτυπάτε ελαφρά. Σε άλλο βαθύ πιάτο ρίχνετε την τριμμένη φρυγανιά. Περνάτε τις κροκέτες πρώτα απ' το αυγό και ύστερα από τη φρυγανιά.
Τηγανίζετε σε καυτό καλαμποκέλαιο μέχρι να ροδίσουν. Τις βγάζετε και πριν τις σερβίρετε τις αφήνετε για λίγο σε απορροφητικό χαρτί να στραγγίσουν το περιττό λάδι.