Βουτυρώνετε ένα ταψάκι και απλώνετε τα κρεμμύδια. Τοποθετείτε από πάνω το κοτόπουλο και αλατοπιπερώνετε. Καλύπτετε με αλουμινόχαρτο και ψήνετε στο φούρνο στους 170 °C για 1 ώρα και 15’. Ξεσκεπάζετε το ταψί και αφήνετε το κοτόπουλο να κρυώσει. Ρίχνετε σε μπολ τα κρεμμύδια και το ζουμί τους.
Ξεκοκαλίζετε το κοτόπουλο και το κομματιάζετε. Το ρίχνετε στο μπολ με τα κρεμμύδια μαζί με το μαϊντανό, το τυρί, το γάλα και τα αυγά χτυπημένα. Σοτάρετε σε λίγο βούτυρο τα φασολάκια, τον αρακά και τα καρότα και ρίχνετε τα σοταρισμένα λαχανικά στο μπολ με τα υπόλοιπα υλικά.
Στρώνετε το ένα φύλλο ζύμης σε στρογγυλό ταψί ελαφρά βουτυρωμένο και απλώνετε πάνω το μείγμα κοτόπουλου και λαχανικών. Ισιώνετε την επιφάνεια με σπάτουλα. Καλύπτετε με το δεύτερο φύλλο, αλείφετε την πίτα με το υπόλοιπο βούτυρο και την ψήνετε για 45’ στους 180 - 200 °C μέχρι να ροδίσει.