Ζεσταίνετε δύο κουταλιές της σούπας βούτυρο και ροδίζετε τις μερίδες κοτόπουλου. Προσθέτετε 3 ποτήρια καυτό νερό, τις πατάτες και τα δύο κρεμμύδια. αλατοπιπερώνετε και σιγοβράζετε 1 ώρα και 10’, μέχρις ότου το κρέας μαλακώσει πολύ καλά και εξατμισθούν τα υγρά.
Στραγγίζετε τα υγρά από το κοτόπουλο (αν έχουν μείνει κάποια) και το ξεψαχνίζετε (αποσύρετε και τις πέτσες εκτός από τα κόκαλα). Αφαιρείτε τα κρεμμύδια, που δε θα σας χρειαστούν άλλο. Κομματιάζετε με πιρούνι τις πατάτες.
Ανακατεύετε την ψίχα του κοτόπουλου με τις πατάτες, τα τυριά, το γάλα ή την κρέμα γάλακτος και τα αυγά (κρατάτε τον κρόκο για να αλείψετε το φύλλο).
Βουτυρώνετε ένα ταψί και απλώνετε 2 φύλλα, επίσης βουτυρωμένα. Απλώνετε πάνω τους τη γέμιση και ισιώνετε την επιφάνεια του μείγματος. Σκεπάζετε με τα υπόλοιπα φύλλα βουτυρωμένα και διπλώνετε τις άκρες των φύλλων ώστε να σχηματιστεί ένα κόθρος.
Αλείφετε την επιφάνεια της πίτας με τον κρόκο και το υπόλοιπο βούτυρο και την ψήνετε σε προθερμασμένο φούρνο στους 200° C, 1 ώρα περίπου.