Πλένετε, καθαρίζετε και ψιλοκόβετε τα πράσα. Σε ένα βαθύ τηγάνι ζεσταίνετε τα 80 γρ. βούτρο σε μέτρια φωτιά και σοτάρετε τα πράσα και τα μανιτάρια ανακατεύοντας μέχρι να μαλακώσουν 6’-7’ περίπου. Τα αποσύρετε από τη φωτιά και τα αφήνετε να κρυώσουν.
Χτυπάτε 3 αυγά και τα αναμειγνύετε με το γιαούρτι. Τα προσθέτετε στο μείγμα των πράσων-μανιταριών μαζί με τα τριμμένα τυριά και ανακατεύετε καλά.
Πασπαλίζετε με αλάτι και πιπέρι. Προθερμαίνετε το φούρνο στους 180° C. Βουτυρώνετε ελαφρά ένα μεγάλο ορθογώνιο ταψί. Τοποθετείτε πρώτα δύο φύλλα στον πάτο του ταψιού αφήνοντας τις άκρες τους να προεξέχουν. Τα αλείφετε με βούτυρο.
Απλώνετε λίγη γέμιση ομοιόμορφα επάνω στο δεύτερο φύλλο. Στρώνετε κατόπιν το τρίτο φύλλο, αφήνοντας και πάλι τις άκρες να προεξέχουν.
Επαναλαμβάνετε την ίδια διαδικασία μέχρι να τελειώσουν τα υλικά. Στο τέλος γυρίζετε προς τα μέσα τα φύλλα που περισσεύουν φτιάχνοντας έναν κόθρο. Αλείφετε την πίτα με βούτυρο και το τέταρτο αυγό χτυπημένο με λίγο νερό ή γάλα. Την ψήνετε 1 ώρα μέχρι να ροδίσει.