Προθερμαίνετε το φούρνο στους 180 °C. Ζεσταίνετε το ελαιόλαδο και σοτάρετε τα κρεμμυδάκια. Προσθέτετε τα μανιτάρια και συνεχίζετε το σοτάρισμα. Ρίχνετε τον άνηθο, αλάτι και πιπέρι, ανακατεύετε καλά και κατεβάζετε το σκεύος από τη φωτιά. Ετοιμάζετε την μπεσαμέλ και την αναμειγνύετε με τα υλικά που σοτάρατε και τα τριμμένα τυριά.
Κόβετε κάθε φύλλο σε 3 μακρόστενες λωρίδες. Αλείφετε μία λωρίδα με ελαιόλαδο και τη διπλώνετε στα δύο. Την αλείφετε πάλι με λίγο ελαιόλαδο και στην άκρη βάζετε μία κουταλιά σούπας από το μείγμα. Διπλώνετε τις δύο πλαϊνές άκρες του φύλλου προς τα μέσα και στη συνέχεια το διπλώνετε σε ρολό (μπουρεκάκι). Κάνετε το ίδιο για να φτιάξετε τα υπόλοιπα μπουρεκάκια.
Μεταφέρετε τα μπουρεκάκια σε λαδωμένο ταψί, τα αλείφετε με ελαιόλαδο και τα ψήνετε στο φούρνο για 20’ - 25’ περίπου (μέχρι να ροδίσουν). Τα σερβίρετε ζεστά.