Αφήνετε τις μελιτζάνες σε σουρωτήρι, αφού τις αλατίσετε, για να ξεπικρίσουν. Τις πλένετε, τις στραγγίζετε και τις στεγνώνετε καλά.
Ζεσταίνετε μια ποσότητα ελαιόλαδου σε φαρδιά αντικολλητική κατσαρόλα και σοτάρετε τα λαχανικά με την εξής σειρά: πατάτες, κολοκυθάκια, κρεμμύδια, πιπεριές και τέλος τις μελιτζάνες. Βγάζετε τα λαχανικά με τρυπητή κουτάλα. Κάθε φορά που χρειάζεται, συμπληρώνετε στην κατσαρόλα ελαιόλαδο.
Ανακατεύετε τις ντομάτες με το μαϊντανό, το σκόρδο, αλάτι, πιπέρι και ζάχαρη και το υπόλοιπο λάδι σε ένα μπολ. Στρώνετε σε ένα ταψί τα σοταρισμένα λαχανικά και τα περιχύνετε με το μείγμα της ντομάτας και ½ φλιτζάνι νερό.
Τα σκεπάζετε με αντικολλητικό χαρτί και τα ψήνετε σε προθερμασμένο φούρνο στους 200 °C για 1 ώρα. Αφαιρείτε κατόπιν το χαρτί, ανακατεύετε προσεκτικά τα λαχανικά και αφήνετε να πάρουν χρώμα. Σερβίρετε το μπριάμ χλιαρό και το συνοδεύετε, αν θέλετε, με τυρί φέτα.