Σοτάρετε την τριμμένη κολοκύθα σε λίγο βούτυρο, αφού την αλατίσετε ελαφρά, μέχρι να φύγουν τα υγρά. Σε μια κατσαρόλα βράζετε το γάλα με το ρύζι μέχρι να πήξει. Όταν πήξει το μείγμα, το ρίχνετε στην κολοκύθα και ανακατεύετε καλά. Προσθέτετε τη ζάχαρη, τα αυγά, τις βανίλιιες και την κανέλα και ανακατεύετε πάλι.
Αλείφετε ένα ταψί με βούτυρο, στρώνετε τα 4 πρώτα φύλλα αλείφοντάς τα με βούτυρο κια αυτά, και ρίχνετε από πάνω το μισό μείγμα. Συνεχίζετε με άλλα 4 φύλλα, ρίχνετε το υπόλοιπο μείγμα και στο τέλος τα υπόλοιπα 4 φύλλα, βουτυρώνοντας πάντα.
Χαράζετε τα φυλλα, τα ραντίζετε με νερό και ψήνετε στους 200° C σε προθερμασμένο φούρνο με αντιστάσεις μέχρι να ροδίσει καλά (για 50 λεπτά περίπου).
Πέντε λεπτά πριν το τέλος, βγάζετε το ταψί από τον φούρνο και αλείφετε την πίτα με το υπόλοιπο βούτυρο. Πασπαλίζετε με ζάχαρη άχνη και το ξαναβάζετε στο φούρνο για 5 λεπτά ακόμη.