Αφήνετε τις μελιτζάνες σε σουρωτήρι, αφού τις αλατίσετε για να ξεπικρίσουν. Τις πλένετε, τις στραγγίζετε και τις στεγνώνετε καλά.
Ζεσταίνετε μια ποσότητα ελαιόλαδου σε φαρδιά αντικολλητική κατσαρόλα και σοτάρετε τα λαχανικά με την εξής σειρά: πατάτες, κολοκυθάκια, κρεμμύδια και τέλος τις μελιτζάνες. Βγάζετε τα λαχανικά με τρυπητή κουτάλα.
Ανακατεύετε σε μπολ τις ντομάτες με το μαϊντανό, το σκόρδο, αλάτι, πιπέρι, ζάχαρη και το υπόλοιπο λάδι. Στρώνετε σε ταψί τα σοταρισμένα λαχανικά και τα περιχύνετε με το μείγμα της ντομάτας.
Τα σκεπάζετε με αντικολλητικό χαρτί και τα ψήνετε σε προθερμασμένο φούρνο στους 200 °C για 1 ώρα. Αφαιρείτε το χαρτί, ανακατεύετε προσεκτικά τα λαχανικά και συνεχίζετε για λίγο το ψήσιμο μέχρι να πάρουν χρώμα. Σερβίρετε το μπριάμ χλιαρό και το συνοδεύετε με φέτα (προαιρετικά).