Διαλύετε τη μαγιά στο γάλα με λίγη ζάχαρη και τα αφήνετε 20' στην άκρη.
Σε ένα μεγάλο μπολ βάζετε το αλεύρι, τα ⅔ από το βούτυρο, τη μαγιά με το γάλα, τα αυγά, το αλάτι, τη μαστίχα με το μαχλέπι και την υπόλοιπη ζάχαρη.
Ανακατεύετε αρχικά με τη λάμα ενός μαχαιριού και στη συνέχεια ζυμώνετε τα υλικά καλά βρέχοντας τα χέρια σας συχνά με το υπόλοιπο βούτυρο μέχρι να πάρετε μια ζύμη ελαστική και λεία.
Βάζετε τη ζύμη σε βουτυρωμένο μπολ και τη σκεπάζετε με διάφανη μεμβράνη. Την αφήνετε σε ζεστό μέρος να φουσκώσει και να διπλασιαστεί σε όγκο (περίπου 2 ώρες).
Μόλις η ζύμη φουσκώσει την ξαναζυμώνετε για λίγα λεπτά και τη χωρίζετε σε 3 χονδρά κορδόνια. Πλάθετε τα κορδόνια, τα πλέκετε σε κοτσίδα και τα ενώνετε στις άκρες. Μεταφέρετε το τσουρέκι σε βουτυρωμένο ταψί, το σκεπάζετε με πετσέτα και το αφήνετε να φουσκώσει άλλη 1 ώρα και 30΄ περίπου.
Αλείφετε την επιφάνεια του τσουρεκιού με το αυγό, το πασπαλίζετε με το σουσάμι και το ψήνετε σε προθερμασμένο φούρνο 40΄-45΄ περίπου στους 180° C.