Καθαρίζετε τα καλαμάρια αφαιρώντας τα εντόσθιά τους και τη διάφανη μεμβράνη. Τα πλένετε καλά και τα στραγγίζετε. Ανακατεύετε το πεκορίνο ή την παρμεζάνα με το κρεμμύδι, το κουκουνάρι και το μισό σκόρδο και γεμίζετε με το μίγμα τα καλαμάρια.
Τα τοποθετείτε σε ένα ταψί αλειμμένο με σησαμέλαιο το ένα δίπλα στο άλλο. Κλείνετε το άνοιγμα τους με το πλοκάμια τους συγκρατώντας το αν χρειάζεται με οδοντογλυφίδα. Περιχύνετε τα καλαμάρια το μισό σησαμέλαιο και το κρασί και ψήνετε 50΄ μέχρι να μαλακώσουν και να ροδίσουν. Τα κόβετε σε ροδέλες και τα σερβίρετε σε πιατέλα
Χτυπάτε τη μαγιονέζα με το υπόλοιπο σησαμέλαιο, το υπόλοιπο σκόρδο και το βασιλικό και περιχύνετε με την κρύα σάλτσα τα ζεστά καλαμάρια.